数学カフェの中の人達のブログ

数学カフェの中の人達が記事を書きます。

【日曜数学アドベントカレンダー2日目】2343の魅力を伝えたい。

この記事は、日曜数学アドベントカレンダーの2日目の記事です。

adventar.org

 

こんばんは。数学カフェの中の人の1人です。

時を遡ること一ヶ月前。。。

 

アドベントカレンダーのIDが2341という素数だったので、

おお、素数だ〜と思ってこんな投稿をしました。

すると、日曜数学会主催の tsujimotter さんからこんなお返事が。

f:id:mathcafe_japan:20171201175107p:plain

 

 

 

 

 

 

Oh...。

 

 

 

平和を愛するわたくし、争いごとは好みません。。。
こんなことで日曜数学会様との関係が悪化してはならない。。。
不安に苛まれるも、tsujimotter様は快く受け入れてくださいました。

 

 

 

f:id:mathcafe_japan:20171201175301p:plain

 

スーパープライムであることも知らない人間に、大切な番号がかっさらわれたと知って、きっと心中穏やかではないでしょう。

お前にかわいい娘はやれん!!!!!

 

何度叫んだことでしょう。。。
罵倒されても仕方がない。。なのに、快く大事にしてくださいと言って下さるこの度量の広さ。。。感服しました。。。tsujimotterさん、器が大きい!!!!!




と思ったその20分後。

f:id:mathcafe_japan:20171201175613p:plain

 

 

 

20分も引きずっている…。。。しかも日曜数学会1日目の投稿は2341について…。。。

 

そしてその初日の投稿がコチラ。

 

tsujimotter.hatenablog.com

 

 

あぁ。。なかなか寝付けず、頑張って待っていたのですね。。2341の到来を。。。

涙を禁じ得ません。。。

これはもう、私が、日曜数学アドベントカレンダーのIDである2343の魅力を伝えなくては!!!!!!!tsujimotterさんのためにも・・・・。そして、日曜数学会と数学カフェの友好的な関係のためにも!!!!!!



そうして立ち上がり、12月1日の諸々の締め切りで血反吐を吐きながら、今この記事を書いています。。。

 

 

2343: previous works

※せめてタイトルは壮大にしようと思い英語にしてみました。
まず、2343についての先行研究を調べてみました。
2017年12月1日13:10時点で、ブラウザはSafariを用い、私のiPhone7(OS11.1.2)で検索を行いました。その際の検索クエリは2343と致しました。また、お使いのソフトウェアが最新であることを確認いたしました。

 

f:id:mathcafe_japan:20171201181301p:plain

 

トップに出てきたのが宝くじの回。

f:id:mathcafe_japan:20171201181342p:plain

 

恐らく製品のID。

f:id:mathcafe_japan:20171201181417p:plain


そして、天使からのメッセージ…。。。


数についてやたらと詳しいブログ、インテジャーズで『2343』で検索しても、
\zeta(5)の値の一部でしか見出されませんでした。

f:id:mathcafe_japan:20171201181750p:plain

サーチ結果はこちら。

http://integers.hatenablog.com/search?q=2343 

 

殆ど最後の手段であるところの数の王国で検索。

f:id:mathcafe_japan:20171201181946p:plain

f:id:mathcafe_japan:20171201182008p:plain

最も目立つ結果は、たまごプルップル!!となりました。
素数でもない、フィボナッチ数でもない、ベル数でもない、カタラン数でもない…以下略。

 

これだけNOが並ぶとは。2343はとっても普通な数と言えるでしょう。


2343 as a number experssed by N-ary notation

2343と言われると、我々はいともたやすく10進法表記だと思ってしまいます。
一体だれが10進法だと決めつけたのか。そうした決めつけは、知らず知らずのうちに人の創造性を奪います。そして知らぬ間に政権批判をしてしまうのです。常識を疑え!既存の10進法に敢えて立ち向かっていけ!!!ということで、アドベントカレンダーのIDはN進法表記であると仮定して考察をしてみました。

まずは計算機を用いて、2343_Nから10進法表記に変換します。



N 10進法
5 348
6 567
7 864
8 1251
9 1740
10 2343
11 3072
12 3939
13 4956
14 6135
15 7488
16 9027


あれ。全部3の倍数だ。。。
そうなのです。10進法表記のとき、各桁を足して3の倍数になるとき、その数は3の倍数になるという判定方法がありますが、N進法についても同様の考察ができます。

ここでは4桁以下の数に絞って書きます。以下法を3とします。


case1)

N=3k\pm 1, kは1以上の整数のとき


n^3\equiv\pm 1
n^2\equiv+1

n^1\equiv\pm 1

n^0\equiv+1

となって、3k\pm1進数表記された  abcd_{3k\pm1} (各桁の数字が上からa,b,c,dの順に並んでいる)を3で割った余りは、\pm (a+c)+(b+d)を3で割った余りと一致します。


case2)


 N=3k, kは1以上の整数のとき

 

n^3\equiv0
n^2\equiv0

n^1\equiv0

n^0\equiv1

 となって、3k進数表記された abcd_{3k}  (各桁の数字が上からa,b,c,dの順に並んでいる)を3で割ったあまりは、dを3で割ったあまりと一致します。


2つの場合を合わせると、すべての2以上の整数Nについて、N進法表記された4桁以下の数字が3の倍数になる場合は、a+c, b, dの3つの数が3の倍数になるときだと言えます。 

 2343_N 2343はa+c, b, dの3つの数がすべて3の倍数であるため、任意の5以上のN進法表記において3の倍数となります。ぱちぱち。

 

2343 as a 2x2 matrix

2343が10進数だという決めつけもよくないですが、
もしかしたら

A=\left(\begin{array}{cc}2\ \ 3\\4\ \ 3\end{array}\right)

という行列が、何らかの見えざる事情により1列に並ばされているのかもしれません。。。
この行列は、行列式≠0であるから一般線形群GL_2(\mathcal{R})の元です。

また、2343をいい感じに時計回りに並べて

B=\left(\begin{array}{cc}3\ \ 2\\4\ \ 3\end{array}\right)
としたら、特殊線形群SL_2(\mathcal{R})の元になりますね。

特に整数部分を持つ行列からなるSL_2(\mathcal{R})の部分群SL_2(\mathcal{Z})はフルモジュラー群と呼ばれ、これを\Gammaと書くとします。すると、以下の命題が成り立ちます。

 

命題 


任意の合同部分群\Gamma'\subset\Gammaに対してM_0(\Gamma')=\mathbb{C}となる。すなわちウェイト0の保型形式は定数のみ。

なんのことだかよくわからない〜って方は1月5-7日の数学カフェにぜひ来てね!保型形式にまつわる様々な話題をお話します!

 

引用元はこちら。

楕円曲線と保型形式

楕円曲線と保型形式

 

 

さて、調べてみると2343についての面白い性質が沢山でてきました!
特に2341はどんなにくるくるしても特殊線形群は作れませんからね〜。
辻さん、喜んでくれるかな??


明日は、mattyuuさんが、血液型の割合に感じる神の意志について書いてくださるそうです!明日も楽しみですね〜。